UNIDAD II Bloque D Actividad 50

BLOQUE D: VOLUMEN Y CAPACIDAD.

Para cuando falta el agua, la señora Elena quiere almacenar agua en un tinaco como el que se muestra en el dibujo, pero sólo tiene una cubeta de 30 cm de diámetro y 30 cm de altura.

¿Cuántas veces necesitará usar la cubeta para llenar el recipiente?

...............

Para contestar la pregunta, se podría pedir a la señora Elena que llene el tambo con la cubeta y que al mismo tiempo cuente el número de veces que vació la cubeta en el tambo. Pero esto llevará mucho tiempo y esfuerzo de la señora Elena.

Sería mejor calcular cuánta agua cabe en el tambo y en la cubeta; y al dividir el volumen del tambo entre el de la cubeta, sabremos cuántas veces se tiene que usar la cubeta.


El cilindro es un cuerpo que tiene una base y un tapa de forma circular, además tiene una altura. El volumen que cabe en un cilindro es el área de la base por su altura.

El volumen que cabe en un cilindro es igual a el área de su base (área de un círculo) por la altura (h).

Área de la base = área de un círculo = r2, (r x r = r2)
Altura del cilindro = h

V = r2 x h
V = x r x r x h

En el caso del tinaco de la señora Elena,

r = 0.5 m
h = 1.2 m

por lo que el volumen del tinaco será:

VT = 3.14 x 0.5 x 0.5 x 1.2
VT = 0.942 m3

Ahora, obtengamos el volumen de la cubeta de la señora Elena. También es un cilindro, pero con diferentes medidas:

r = 0.15 m
h = 0.3 m
Vc = x r2 x h = x r x r x h
Vc = 3.14 x 0.15 x 0.15 x 0.3
Vc = 0.021 m3

Observe que se usan las unidades de metros con un tres pequeño arriba; a esto se le llama metros cúbicos, porque m x m x m = m3.

Ahora, veamos cuántas veces el volumen de la cubeta cabe en el del tambo, para conocer cuántas veces va a vaciar la cubeta.

Esto quiere decir que la señora Elena tiene que hacer 45 viajes con la cubeta, lo cual es mucho, por lo que le convendría tener dos cubetas más grandes o una manguera, para llenar el tambo.

Imagine que llenar la cubeta y vaciarla cada vez toma 4 minutos; tendríamos:

45 viajes x 4 minutos = 180 minutos

Como cada hora tiene 60 minutos, dividimos los 180 minutos entre 60, para saber cuántas horas le tomaría a la señora Elena llenar el tambo.

180 minutos = 180/60 =3horas

Imagine lo cansada que terminaría la señora Elena.

Por lo regular, cuando medimos la capacidad de algo que vamos a llenar con un líquido, no utilizamos m3 sino litros; por lo que es muy importante saber cuántos litros caben en un m3, para que cuando obtengamos el volumen de un recipiente podamos decir cuántos litros le caben.

Si a un m3 lo llenamos con agua, tendríamos que le caben 1,000 litros (l), porque un litro es un cubo con lados de un decímetro cada uno, como se muestra en la figura.

También podemos ver que 1,000 cubos de 1 litro, como los que mostramos en la siguiente figura, forman un m3.

Si la cubeta de la señora Elena tiene un volumen de 0.021 m3, ahora podemos saber cuántos litros le caben.

Vc = 0.21 m3 = 0.021 x 1,000 l = 21 l (litros)

Observe que con una cubetita de 21 litros, la señora Elena pretende llenar un tambo de 942 litros. Por ello es que hace tantos viajes y se puede tardar mucho.

Como pudo usted observar, el volumen de un cilindro se puede calcular con la fórmula, V = x r x r x h; en la que si el radio (r) y la altura (h) están en metros (m), el volumen estará en metros cúbicos (m3) y, posteriormente, si esa cantidad se multiplica por 1,000, se tendrán litros (l).

Para facilitar el cálculo del volumen de recipientes existen tablas de fórmulas, como la que se muestra a continuación.

Cubo.

La base es cuadrada.
Área de la base x la altura = Volumen

L x L x L = V

Área de la base: L x L = A

L x L x L = L3

Fórmula: L3 = V

Paralelogramo

La base es rectangular.

Área de la base x la altura = Volumen

L1 x L2 x h = V

Área de la base: L1 x L2 = A

Fórmula: L1 x L2 x h = V

Prisma triangular

Es un prisma con la base
en forma de triángulo.

Área de la base x la altura = Volumen

b x a/2 x h = V

Área de la base: b x a/2 x h = V

Fórmula: b x a x h = V
      2

Cilindro

Tiene base circular.

Área de la base x la altura = Volumen

x r2 x h = V

x r x r x h= V

Recuerde que: = 3.14 y r x r = r2

Fórmula: x r x r x h = V

                       x r2 x h = V

También existen figuras cuya parte superior no es igual a su base. En estas figuras todas las esquinas de su base se unen en un punto llamado vértice, a una altura determinada. Estas figuras se llaman pirámides; pero cuando su base es un círculo y todas sus partes se unen en el vértice se llama cono.

El volumen de estos cuerpos se obtiene multiplicando el área de su base por la tercera parte de su altura (1/3 h ó 0.333 h).

La esfera
La esfera es un cuerpo que no tiene base como los otros que se han analizado; por lo que su fórmula se puede obtener de una manera práctica, como se muestra a continuación.

1. Busque una naranja grande, pártala a la mitad y quítele los gajos, como se muestra en el dibujo siguiente:

La mitad de esta naranja representa la mitad de una esfera.

2. Con su cinta métrica o con una regla, obtenga su diámetro.

Suponga que mide 7.3 cm, D = 7.3 cm

3. Con cartón o papel periódico, construya un cilindro con diámetro y altura iguales a las del diámetro de la media naranja. Recuerde que: D = 2r

4. Con la media naranja llene, con azúcar o arroz, el cilindro que construyó;
observe que con tres medias naranjas se llena el cilindro.

Esto quiere decir que, 3 medias naranjas = volumen del cilindro

Recuerde que el volumen del cilindro es

Vc = r2 x h

En este caso, h = 2r; por lo que la fórmula del volumen del cilindro queda de la siguiente forma:

Vc = x r2 x 2 r ffffffffffffffffffffffffffVc = 2 x r3

Esto quiere decir que,

Volumen de 3 medias naranjas = 2 x r3

Para conocer el volumen de sólo una media naranja, se pasa el 3, que está multiplicando en el lado derecho, dividiendo al lado izquierdo:

Volumen de media naranja = 2 x r3 / 3

Como esta fórmula sólo representa al volumen de media naranja, o sea, media esfera, y nosotros requerimos el de una esfera completa, se multiplica a esta fórmula por 2.

Volumen de una esfera = 2(2 x r3) / 3

Realizando las operaciones, la fórmula para la obtención del volumen de una esfera queda:

V = 4 x r3 / 3

Recuerde que todos los volúmenes se expresan en unidades cúbicas. O sea, tienen unidades de longitud (m, dm, cm, mm) con un tres pequeño arriba de la unidad:

m3, dm3, cm3, mm3, ft3, in3

 

Como ya se vio antes, otra unidad de volumen muy utilizada es el litro; esta unidad no es cúbica, sin embargo, equivale a 1 dm3.

1 litro =1 dm3

=
=
    1 litro   1 litro
         

 

 

Cuando se necesita medir una cantidad muy pequeña de líquido, se utiliza el mililitro como medida de volumen. Éste es la milésima parte de un litro, 1 l = 1,000 ml.

Conocer cómo se calcula la capacidad de los recipientes o cuál es su volumen, puede ser útil en las actividades cotidianas, como se muestra a continuación.

Doña Inés desea saber la capacidad de agua que puede almacenar la pileta que tiene a un lado de su lavadero, para conocer la cantidad de litros que gasta durante una semana.

¿Podría usted ayudar a doña Inés a calcular qué cantidad de agua cabe en su pileta, si ésta mide 1.5 m x 1 m x 80 cm? Es conveniente hacer un croquis como este:

Recuerde que 1 m = 1,000 litros.

Lo primero que se debe hacer es revisar si todas las dimensiones están en las mismas unidades, pues si están en m (metros), al aplicar la fórmula obtendremos
m (metros cúbicos); si estuvieran en cm (centímetros), obtendríamos cm (centímetros cúbicos); si las medidas se dieran en dm (decímetros), tendríamos
dm (decímetros cúbicos).

En este caso, dos de los lados están en m (metros) y otro en cm (centímetros) (recuerde que 100 cm = 1 m); y como a doña Inés le interesa conocer cuánto le cabe a la pileta, primero vamos a calcular el volumen en m3 (metros cúbicos) y luego los convertiremos en litros (l); por lo que, pasaremos 80 cm a metros, resolviendo por la regla de tres; recuerde que 100 cm = 1 m.

100 cm = 1m
80 cm = ? m

También se podría haber obtenido al multiplicar los cm x 0.01

80 x 0.01 = 0.8 m

Con lo anterior, podremos aplicar la fórmula de volumen de un prisma rectangular.

V = L1 x L2 x L3

V = 1.5 x 1 x 0.8 = 1.2 m3 (metros cúbicos)

Ahora, debemos convertir los m3 en litros. Como sabemos que 1,000 litros = 1 m3, podemos fácilmente obtener que:

1.2 m3 = 1.2 x 1,000 l = 1,200 l (litros)

5. Cono

Puede ser un cucurucho o un barquillo.

V = área de la base x h/3

V = p x r x r x h/3

Esfera

Puede ser una pelota.

r 0.25

V = área de la base x h/3

V = p x r x r x h/3