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Algebra

Índice
Binomio | Coeficiente | Ecuación | Ecuaciones cuadráticas
Ecuaciones de primer grado (simples y simultáneas) | Ecuaciones de segundo grado Incógnita | Literales | Monomio | Polinomio | Polinomios de segundo grado
Resolver una ecuación | Signos | Simplificar una ecuación | Sistemas de ecuaciones Términos algebraicos | Términos semejantes (ver simplificar una ecuación) | Trinomio

Binomio
Expresiones con dos términos, como 3m + 2.

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Coeficiente
Ver términos algebraicos

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Términos algebraicos
Las expresiones como n y 4n se llaman términos algebraicos.
En las expresiones algebraicas los términos se separan con los signos + y -.
Por ejemplo, 4n+3x-5 tiene tres términos: 4n, 3x y 5.

En un término algebraico, podemos también encontrar coeficiente, exponente o potencia y literales.

4w2
El 4 es el coeficiente del término.
w es la literal o variable en w2 el 2 es el exponente o potencia. éste indica que w se multiplica por sí misma dos veces: w x w.
4w2 quiere decir que el número y la letra se relacionan por medio de una multiplicación, porque cuando encontramos un número y una letra juntos, indica que éstos se multiplican.

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Ecuación
Una ecuación es una igualdad compuesta por dos miembros, en la que se presenta por lo menos un valor desconocido llamado incógnita. Por ejemplo: c-10=50.

En este caso, la incógnita es la literal c.

Sus características son:
  • Tiene dos miembros separados por el signo de igual.
  • El signo de igualdad indica que ambos lados son equivalentes, es decir, al resolverlos cada lado se obtiene el mismo resultado, pero en la ecuación han sido anotados de forma diferente.
  • Los valores que son desconocidos se anotan con literales, es decir, con letras.
  • Los valores que no se conocen se pueden calcular a partir de los que sí se conocen.

La ecuación es como una balanza, donde para estar en equilibrio ambos lados, deben tener el mismo valor.
Por ejemplo:

3 + 4 = 10 - 3

3+4, que da como resultado 7, es equivalente en la balanza de la ecuación a 10-3, que también da como resultado 7.

Cuando alguno de estos valores es desconocido, se puede calcular a partir de los conocidos.

3 + b = 10 - 3

Para resolver es necesario que b quede sola; para ello, el tres se cambia al lado izquierdo de la ecuación, pero con signo opuesto, es decir, como 3. Esta operación hace que la balanza siga en equilibrio, ya que si al primer término le quito tres, al segundo también se lo debo quitar.

b = 10 - 3 - 3
b = 4

Cuando no anotamos el signo a un valor dentro de una ecuación, debemos suponer que es positivo. (+)

Ecuaciones y vida cotidiana
En la vida cotidiana, utilizamos ecuaciones con mucha frecuencia, pero no sabemos que lo son y muchas veces no las anotamos de forma completa.
Por ejemplo, si usted compra 15 pesos de pan y 18 pesos de leche, para saber el total, que es desconocido, suma 15 más 18.
Esto suele anotarse como 15+18=
Si utiliza la notación completa, tendría que escribir 15+18 = X y al resolver tendría 33= X.

Lea las características que se indicaron acerca de las ecuaciones y verá que está utilizando una de ellas.
Ver también
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de segundo grado

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Ecuaciones cuadráticas
Ver ecuaciones de segundo grado.

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Ecuaciones de primer grado (simples y simultáneas)
Las ecuaciones de primer grado son las que tienen exponente 1, (el cual se sobreentiende y en general, no se anota).
ésta es la forma general, donde a es un número y b es otro número.

aX + b = 0

Se resuelven, transponiendo b y despejando X.

X = -b/A

Ejemplo:

7X + 2 = 0

El dos se pasa con el signo contrario, al lado derecho de la igualdad.

7X = -2

El 7 se cambia de lado. Como está multiplicando a X, se pasa como divisor de 2.

X=-2/7

Al dividir 2 entre 7 se obtiene el resultado 0.28.


Ecuaciones simultáneas
Muchos problemas tienen dos incógnitas y se pueden resolver planteando simultáneamente dos ecuaciones de primer grado.

éstas se pueden resolver de varias formas.
Calculando X en la primera ecuación y luego sustituyendo su valor en la segunda. Entonces se resuelve la segunda, o bien multiplicar todos los términos de una de ellas por un valor constante tal, que iguale el coeficiente de X o de Y en la otra ecuación.

En el fondo, la estrategia general consiste en convertir las ecuaciones en una sola para resolverla como una simple, obtener uno de los valores y con él regresar a resolver la ecuación inicial.

Ejemplo:
Si las edades de Pedro y su hijo Juan, sumadas, dan 83 años y restadas dan 40 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

Llamemos P a Pedro y J a Juan. Entonces podemos escribir el texto del problema utilizando ecuaciones, de la siguiente manera:
P + J = 83
P - J = 40
Para resolverla, primero sumamos las dos ecuaciones:

P + J = 83
+ P - J = 40
2P =123

(P+P da 2P, y +J -J es cero, por lo que se elimina).

Ahora, solamente resolvemos la ecuación simple 2P=123.

p=123/2

P = 61.5

Entonces, suplimos el valor de P en las ecuaciones originales.

61.5 + J = 83
61.5 - J = 40

La primera se resuelve al restar 83 - 61.5 = 21.6
La segunda se resuelve al sumar 40 + 61.5 = 61.5

Ver también
Ecuaciones
Exponentes

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Ecuaciones de segundo grado
Son ecuaciones que tienen un término elevado al cuadrado. El término elevado al cuadrado se llama término cuadrático.

Su forma general es:
ax2 +bx +c = 0
El primer valor es el cuadrático, el segundo es un término lineal y el último es una constante.

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Incógnita
En una ecuación, es el valor desconocido; por ejemplo, en c-10=50, la incógnita o el valor a buscar es c.

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Literales
Las literales (letras) se utilizan en las operaciones algebraicas para representar los valores que no se conocen.
  • A una literal se le pueden asignar distintos valores numéricos.
  • Una literal puede representar un número o varios números.
  • La suma de dos números cualesquiera se puede representar como ab.
  • Podemos utilizar cualesquiera de las letras del alfabeto para representar literales.
  • Es posible hacer operaciones con literales.
En las fórmulas (ecuaciones) que usamos en geometría, se utilizan literales: por ejemplo, para medir el área de un triángulo, utilizamos:

(BXh)/2
Ver también
Términos algebraicos

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Monomio
A las expresiones como a, que constan de un solo término, se les llama monomios.
Por ejemplo: a, b, -7a2

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Polinomio
Expresión que tiene dos o más términos.

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Polinomios de segundo grado
Ver ecuaciones de segundo grado.

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Resolver una ecuación
Es encontrar el valor numérico de la incógnita con la cual se cumple la igualdad. Por ejemplo:

c-10=50 se revuelve al encontrar que c=60, porque 60 10 es igual a 50.

Al resolver una ecuación, es fundamental que tomemos en cuenta que para no alterar la igualdad, todo número por el que se sume, reste, multiplique o divida al primer miembro de la igualdad, debe sumar, restar, multiplicar o dividir al segundo miembro de la igualdad.

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Signos
En álgebra se utilizan literales (letras) para representar una cantidad cualquiera, como por ejemplo, a, b, c
Para las incógnitas, se usan, en general, las últimas letras del alfabeto como x,y y z.

Las letras están asociadas a su signo, positivo (+) o negativo (-). Cuando una letra no tiene signo a la izquierda, se entiende que es positiva.

Signos de operaciones
Para indicar las operaciones algebraicas fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división) emplearemos, en general los mismos signos que en la aritmética.
(+) para indicar suma, por ejemplo a X b.
(-) para resta,
En la multiplicación se utilizan tres formas diferentes:
Signo x: a x b
Con un punto a.b
Con paréntesis: (a) (b)
Colocando juntas dos literales, o literales con valor: ab o bien b7
En la división se utilizan dos formas:
Dos puntos: a:b
Con numerador y denominador: a/b

Reglas de los signos

Para multiplicar:

Más por más da más. (a) (b) = ab
Menos por menos da más. (-a) (-b) = ab
Menos por más da menos. (-a) (b) = -ab
Más por menos da menos. (a) (-b) = -ab

Para dividir:

Más entre más da mas. a/a=a
Menos entre menos da mas. -a/-a=a
Menos entre más da menos. -a/a=-a
Más entre menos da menos. a/-a=-a

En resumen, al multiplicar o dividir, si los signos son diferentes el resultado es negativo (-) y si son iguales da positivo (+).

Ver también
álgebra
Operaciones con números positivos y negativos

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Simplificar una ecuación
Al resolver una ecuación, hay términos semejantes que se pueden reducir para escribirlos y utilizarlos de forma más corta.
Por ejemplo: en 3a+ 4a + 5b +2a = 50 , el primer término se puede reducir al sumar todos los términos que contienen a: 9a+5b=50

Hay varias formas de simplificar una ecuación: sumar términos semejantes, restar términos semejantes, dividir términos iguales para eliminarlos o realizar multiplicaciones donde se anulen términos.
Ver también
Términos semejantes

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Sistemas de ecuaciones
Son ecuaciones que se plantean y se resuelven los valores de las incógnitas al mismo tiempo.

Ejemplo de un problema que se resuelve con sistemas de ecuaciones:
En un estadio de fútbol se vendieron 350 boletos, cuyo costo fue de $30 y de $50 cada uno. Del total de la venta, se reunieron $13 100. Puede usted decir ¿Cuántos boletos de cada precio se vendieron?

Para plantear este problema con ecuaciones, se anotan dos de ellas, que en forma coordinada permiten resolver el problema.

x + y = 350
Donde x es el número de boletos que valen 30 pesos y y el número de boletos que valen 50 pesos.
30x + 50y = 13 100
donde se representa que x número de boletos de 30 pesos más y boletos de 50 pesos dan un total de 13 100 pesos.
Resolución:
En la primera ecuación se resuelve x, quedando como x= 350-y.

Luego se sustituye en la segunda ecuación el valor de x por el valor 350 y.

30 (350-y) + 50 y = 13100

Así la convertimos en una ecuación de una sola variable: y.

Se efectúan las operaciones indicadas, es decir 30 x 350 y 30 por y.

10500 30y + 50y = 13100

-30y + 50y =13100-10500
20y = 2600

(ambos términos se dividen entre 20 para reducirlos)
y = 130
y representa el número de boletos de $50 vendidos. Se vendieron 130 boletos de $50 pesos.
Con esta información se calcula cuántos se vendieron de $30 fácilmente, porque ya sabemos que en total se vendieron 350. Basta con restar 350 130.

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Términos semejantes
Se llaman términos semejantes aquellos que tienen la misma o las mismas literales y están elevados a la misma potencia.
Ejemplo:
7a2 y 3a2 son términos semejantes.
10a y 4b no son términos semejantes.
Ver también
Simplificar una ecuación

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Trinomio
Expresiones con tres términos, como 3m + 2a-8x2.

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